Η απόδειξη διαχρονικά στα μαθηματικά και πως εξελίσσεται. Τι σημαίνει επιστημονικά τεκμηριωμένη λύση. Αν πρέπει οι μαθητές να χρησιμοποιούν μόνο τα θεωρήματα του σχολικού βιβλίου.
Η εργασία εντάσσεται στην ενότητα του συνεδρίου «Ο δάσκαλος των Μαθηματικών στο περιβάλλον της τάξης»και στην υποενότητα «Το σχολείο σε σχέση με την προετοιμασία για το πανεπιστήμιο».
Konstantopoulos Ilias
Mathematician
Title: “Every solution scientifically based is accepted”
Abstract
The proof in mathematics and how it develops. What is meant by scientifically based solution. If students should only use the textbook theorems.
The work is the unity of the conference "The teacher of mathematics in the classroom environment" and in the subsection "The school in connection with the preparation for the university”
Εισαγωγή
Ο τίτλος της ομιλίας έχει παρθεί από τη σχετική οδηγία που γράφεται πολλά χρόνια τώρα στο τέλος των θεμάτων των μαθηματικών στις πανελλαδικές εξετάσεις. Έχω κάνει πολλές συζητήσεις με μαθητές – υποψηφίους για το τι σημαίνει ακριβώς αυτή η οδηγία, χωρίς να μπορώ πάντα να τους πείσω για την άποψή μου, αφού κάποιοι άλλοι συνάδελφοί μας έχουν διαφορετική άποψη. Φαίνεται ότι όταν οι μαθηματικοί καλούνται όχι να διδάξουν μαθηματικά, αλλά να μιλήσουν για αυτά, έχουν δυσκολίες.
Τι σημαίνει πραγματικά αυτή η οδηγία; Πως εισπράττεται από τους υποψηφίους φοιτητές; Καθησυχάζει το πνεύμα τους ή ενσπείρει την αμφιβολία και τον φόβο; Ποιες είναι οι απόψεις των βαθμολογητών; Συμφωνούν όλοι για κάποια λύση ή αναγκάζονται να συμφωνήσουν για να μην προκύπτουν αναβαθμολογήσεις ή ακόμα για να μειώσουν την ανασφάλεια την οποία βιώνουν, νομίζοντας ότι έτσι απονέμουν δικαιοσύνη;
Η απόδειξη διαχρονικά
Η ιστορία των μαθηματικών δείχνει ότι πάντοτε υπήρχαν διαφωνίες για το ποια άποψη είναι σωστή και ποια λιγότερο σωστή ή ακόμα και λάθος. Από τον Αριστοτέλη και τον Πλάτωνα, με τον πρώτο να δείχνει τη γη και τον δεύτερο τον ουρανό, μέχρι τον Ζήνωνα και τα παράδοξά του, τον Candor, τον Russell και τον Gοdel.
Το ερώτημα που τίθεται μετά από κάθε τέτοια γιγάντια σύγκρουση, είναι πάντοτε το ίδιο: Πώς θα συμβιβάσουμε δύο γεγονότα αντιφατικά μεταξύ τους, αλλά συγχρόνως αληθινά;
Η απάντηση σε αυτό το ερώτημα είναι ότι αναγκαζόμαστε να δούμε τον κόσμο με διαφορετικό μάτι, με διαφορετική οπτική γωνία, ώστε τα δύο αλληλοσυγκρουόμενα με την παλιά ματιά γεγονότα, με την νέα ματιά να συμβιβάζονται και να εξηγούνται, συνειδητοποιώντας ταυτόχρονα το γεγονός ότι, αυτό που συμβαίνει σε κάθε ανθρώπινη δραστηριότητα συμβαίνει και στον κόσμο των μαθηματικών.
Παλιότερα επικρατούσε η άποψη ότι τα μαθηματικά περιέχουν αιώνιες και αναλλοίωτες αλήθειες. Για παράδειγμα η Ευκλείδεια γεωμετρία δεν αμφισβητήθηκε για αιώνες. Στο πεδίο αυτό των μαθηματικών ήταν σαφές τι σημαίνει απόδειξη: Είναι μια λογική ακολουθία συλλογισμών από την υπόθεση στο συμπέρασμα και αν αυτό είναι δύσκολο καταφεύγουμε στην εις άτοπο απαγωγή. Συνεπώς δεν υπάρχει αμφιβολία για το τι είναι αληθές και τι όχι. Η απώλεια αυτής της βεβαιότητας ήταν και είναι αβάσταχτη, γιατί είμαστε αναγκασμένοι να δεχτούμε την μη βεβαιότητα σε ανθρώπινη γνώση, αφού αν υπάρχει βεβαιότητα, τότε βρίσκεται στα μαθηματικά και όχι οπουδήποτε αλλού.
Σήμερα όμως γνωρίζουμε ότι κάποιες προτάσεις μπορούν να είναι και αληθείς και ψευδείς ή να μην είναι ούτε αληθείς ούτε ψευδείς. Ότι και αν δεχτούμε από δύο αντίθετες προτάσεις δεν οδηγούμαστε σε αντιφάσεις και το οικοδόμημα των μαθηματικών εξακολουθεί να στέκει. Η υποτιθέμενη μαθηματική αλήθεια μπορεί να είναι ψέμα ή να πρέπει να διορθωθεί. Για παράδειγμα μπορούμε να δεχτούμε ή να μη δεχτούμε ότι υπάρχει πληθάριθμος μεταξύ του πληθάριθμου των φυσικών και του πληθάριθμου των πραγματικών αριθμών, χωρίς καμία επίπτωση στην πληρότητα των μαθηματικών.
Εδώ και πάνω από αιώνα οι κύριες τάσεις όσον αφορά τη μαθηματική αλήθεια, μπορούν να κωδικοποιηθούν σε τρεις «σχολές». Θα αναφερθούμε πολύ σύντομα σε αυτές:
Πλατωνισμός ή Ρεαλισμός :
Πρεσβεύει ότι τα μαθηματικά αντικείμενα και οι ιδιότητές τους είναι πραγματικά, αλλά όχι κατανάγκη υλικά. Ο άνθρωπος απλώς τα ανακαλύπτει και προσφέρει, μέσω αυτών την αλήθεια και τη βεβαιότητα.
Φορμαλισμός :
Διακηρύσσει ότι τα μαθηματικά αντικείμενα δεν έχουν στην πραγματικότητα κανένα νόημα. Είναι τυπικές συνεπαγωγές από κάποια αξιώματα, χωρίς να μπορούμε ή να μας ενδιαφέρει να προσδιορίσουμε τη σημασία τους. Οι μαθηματικές προτάσεις δεν έχουν κανένα περιεχόμενο. Ο μόνος στόχος του μαθηματικού πρέπει να είναι μια αυστηρή απόδειξη. Είναι το αντίπαλο δέος του πλατωνισμού.
Κονστρουκτιβισμός :
Αντίθετο ρεύμα και στις δύο προηγούμενες σχολές. Δέχεται ως μαθηματικά μόνο αυτά που μπορούν να κατασκευασθούν μέσα από μια πεπερασμένη διαδικασία. Δέχεται επίσης ότι η βάση των μαθηματικών, δηλαδή οι δομικοί τους λίθοι, είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών. Το τελευταίο το δέχονται και οι δύο άλλες σχολές,
(Η Μαθηματική Εμπειρία)
Εφόσον τώρα οι βασικές αρχές, διαφορετικές θα είναι και οι αποδείξεις που δέχεται κάθε σχολή. Αυτό όμως ισχύει μόνο εν μέρει. Στην πράξη οι μαθηματικοί αντιμετωπίζουν τα μαθηματικά αντικείμενα ως υπαρκτά και η προσπάθειά τους είναι να βρουν τις ιδιότητες που τα συνδέουν.
Θα έπρεπε λοιπόν να υιοθετήσουμε κάποια από αυτές τις τρεις τάσεις, να ασπαστούμε τα δόγματά τους εν είδει θρησκείας, ή θα έπρεπε να συμβιβάσουμε κάποια κοινά αποδεκτά τους στοιχεία; Θα έπρεπε να ανησυχούμε για τις κρίσεις που εμφανίζονται κατά καιρούς στα θεμέλια των μαθηματικών ή να δεχτούμε ότι έχουν αλήθειες από μόνα τους, τις οποίες μπορούμε ή όχι να ανακαλύψουμε, αλλά συγχρόνως είναι και ανθρώπινο δημιούργημα, με ότι αυτό συνεπάγεται;
Η απόδειξη στη τάξη
Όταν διδάσκουμε στην τάξη θεωρούμε ότι τα μαθηματικά υπάρχουν, έχουν κάποιες ιδιότητες, τις οποίες προσπαθούμε να μεταδώσουμε στους μαθητές μας και να αποδείξουμε κάποιες από αυτές. Δεν αναρωτιόμαστε αν οι αποδείξεις που είναι σωστές «a priori» ή είναι σωστές κάτω από κάποιες προϋποθέσεις. Ούτε οι μαθητές μας αναρωτιούνται γι’αυτό.
Όμως κάποτε ένας μαθητής μου της Α΄ Λυκείου, όταν μετά την διατύπωση ενός θεωρήματος στη Γεωμετρία είπα «και τώρα ας κάνουμε την απόδειξη», ξαφνιασμένος σήκωσε το χέρι του και ρώτησε:
- Κύριε, υπάρχει περίπτωση να μην ισχύει το θεώρημα;
- Όχι παιδί μου, του απάντησα, γνωρίζοντας ότι στην ουσία έλεγα ψέματα. Ισχύει αφού έχει αποδειχθεί.
- Τότε γιατί να το αποδείξουμε και εμείς;
Οι άλλοι μαθητές γέλασαν, αλλά ο μαθητής ρωτούσε με ειλικρίνεια και απορία. Θεωρούσε, με την απλή του λογική, ότι αν κάτι έχει αποδειχθεί πολλές φορές και από πολλούς, τότε οι υπόλοιποι δεν έχουν κανένα λόγο να το αποδείξουν, απλά μπορούν να το χρησιμοποιούν. Αν ένα θεώρημα έχει αποδειχθεί από κάποιον και μια ομάδα επιστημόνων έχει επιβεβαιώσει την απόδειξη, οι υπόλοιποι μαθηματικοί που ασχολούνται με αυτόν τον τομέα, δέχονται αυτό το θεώρημα και προχωρούν παρακάτω, χωρίς ενδεχομένως να γνωρίζουν τις λεπτομέρειες της απόδειξης.
Αισθάνθηκα ότι ο μαθητής είχε δίκιο. Μη θέλοντας όμως να σπείρω αμφιβολίες (γιατί άραγε;) για την αλήθεια των μαθηματικών του είπα ότι ναι μεν ο Τένζιγκ και ο Χίλαρυ ανέβηκαν στο Έβερεστ, αλλά έκτοτε χιλιάδες άλλοι το επιχειρούν. Άλλοι το καταφέρνουν και άλλοι το πληρώνουν με τη ζωή τους.
Έτσι με το ευφυολόγημα αυτό ξέφυγα από το σκόπελο και τη δυσκολία να εξηγήσω στην τάξη τι σημαίνει απόδειξη στα μαθηματικά. Ότι δηλαδή η απόδειξη είναι τελικά ένα επιχείρημα για αυτόν που γνωρίζει το θέμα και όχι για το οποιονδήποτε.
Όμως ο μαθητής είχε δίκιο. Πολλές φορές χρησιμοποιούμε θεωρήματα, τα οποία γνωρίζουμε ότι έχουν αποδειχθεί, χωρίς να έχουμε την παραμικρή ιδέα για την απόδειξή τους ή στην καλύτερη περίπτωση, χωρίς να θυμόμαστε τις λεπτομέρειες της απόδειξης. Σε άλλες περιπτώσεις έχουμε μια ενορατική σύλληψη της απόδειξης, παρ’ όλα αυτά δεν έχουμε κανένα ενδοιασμό να χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα.
Αυτό λοιπόν που δικαιωματικά κάνει ένας δάσκαλος των μαθηματικών, έχει δικαίωμα να το κάνει ο υποψήφιος φοιτητής; Έχει δικαίωμα να χρησιμοποιεί θεωρήματα την απόδειξη των οποίων ίσως και να αγνοεί; Πρέπει αυτό να αξιολογείται αναλόγως;
Να τονίσουμε εδώ τα εξής:
Μια απόδειξη έχει να κάνει με την συγκεκριμένη ιστορική περίοδο στην οποία διατυπώθηκε, με τα εργαλεία τα οποία χρησιμοποιήθηκαν. Μια απόδειξη που έγινε με χαρτί και μολύβι, δεν είναι το ίδιο με μια απόδειξη για την οποία χρησιμοποιήθηκε υπολογιστής, αν χωρίς τη βοήθεια του συγκεκριμένου εργαλείου η απόδειξη αυτή θα ήταν αδύνατο να πραγματοποιηθεί. Η αλήθεια μιας τέτοιας απόδειξης δεν είναι καθόλου εύκολο να επιβεβαιωθεί από μεγάλο πλήθος ανθρώπων, όπως γίνεται για παράδειγμα με το πυθαγόρειο θεώρημα. Αυτό σημαίνει άραγε ότι μια τέτοια απόδειξη είναι υποδεέστερη; Γιατί κάποιες αποδείξεις υπερτερούν έναντι κάποιων άλλων που αναφέρονται στο ίδιο θέμα; Μήπως γιατί και οι αποδείξεις των ανθρώπων, όπως και οι ίδιοι οι άνθρωποι υπόκεινται στους νόμους της θεωρίας της εξέλιξης; Γιατί έχουμε μια βαθιά πίστη, σχεδόν θρησκευτική, για την αλήθεια των μαθηματικών; Μήπως γιατί φαίνεται να λειτουργούν καλά στις επιστήμες;
Είναι μάλλον αναμενόμενο ότι σε τέτοιου είδους ερωτήσεις, πιθανότατα υπάρχουν περισσότερες από μία απαντήσεις. Το ότι τα μαθηματικά φαίνεται να λειτουργούν, μπορεί να μην είναι τίποτα άλλο από μια δοξασία, επειδή θεωρούμε ότι κάτι το έχουμε κατανοήσει καλά, μόνο αν μπορούμε να το εκφράσουμε με μια μαθηματική σχέση.
Όμως για τους μη μαθηματικούς το ερώτημα αν τα μαθηματικά είναι αληθή ή όχι, ελάχιστη σημασία έχει. Εκείνο που τους ενδιαφέρει είναι να μπορούν να τα χρησιμοποιούν και να λύνουν τα πραγματικά προβλήματα.
Επομένως η σημασία της απόδειξης για αυτούς είναι επουσιώδης.
Επίσης η απόδειξη ενός θεωρήματος δεν ενδιαφέρει τους μαθηματικούς οι οποίοι εργάζονται σε διαφορετικό τομέα, διότι στο κάτω – κάτω δεν την κατανοούν. Τους καθησυχάζει όμως το γεγονός ότι η απόδειξη έχει γίνει. Άρα μια απόδειξη έχει σχετική αξία και μόνο μέσα στον περιορισμένο κόσμο των μαθηματικών που ασχολούνται με το συγκεκριμένο αντικείμενο;
Ας σκεφτούμε λίγο πως γίνεται μια απόδειξη μέσα στην τάξη. Το νόημα της επανάληψης αποδείξεων που έχουν γίνει εκατομμύρια φορές είναι να πείσουμε τους μαθητές για την αλήθεια αυτών των προτάσεων, μια αλήθεια που βεβαίως είναι σχετική. Με αυτόν τον τρόπο διδάσκουμε τον ορθολογικό τρόπο σκέψης, αν και δυστυχώς ορισμένα μαθήματα αντιστρατεύονται ευθέως σε αυτόν τον τρόπο σκέψης.
Όταν όμως θέλουμε να αποφύγουμε μια μακροσκελή και κουραστική απόδειξη, η οποία απωθεί τους περισσότερους μαθητές, χρησιμοποιούμε ένα σχήμα, κάνουμε μια πιο ενορατική προσέγγιση. Αν είχαμε δώσει περισσότερο θάρρος στους μαθητές μας θα μας «ανάγκαζαν» να κάνουμε όλες τις αποδείξεις των θεωρημάτων που χρησιμοποιούμε και τότε θα βρισκόμασταν σε πολύ δυσάρεστη θέση. Βέβαια έχοντας «γονατίσει» την ψυχολογία των μαθητών κάτω από το βάρος των εξετάσεων, οι περισσότεροι αισθάνονται ανακουφισμένοι, όταν δηλώνουμε ότι «αυτή η απόδειξη παραλείπεται». Κανένας μαθητής δεν αμφιβάλλει ότι η πρόταση ισχύει, αφού το δηλώνουμε εμείς και το γράφει το βιβλίο. Αν όμως παρουσιάσουμε μια απόδειξη και οι μαθητές δεν την κατανοήσουν, απλά τους εξαναγκάζουμε να την αποδεχτούν. Ποια είναι η χρησιμότητα μιας τέτοιας απόδειξης; Είναι καλύτερα να διδάσκεται μια τεχνική απόδειξη, την οποία στην καλύτερη περίπτωση θα τη μάθουν, αλλά θα τη μισήσουν ή να παρουσιάσουμε μια πιο πειστική, αλλά ελλιπή απόδειξη, η οποία όμως θα συμβάλλει στην καλύτερη κατανόηση του θεωρήματος; Ας μην ξεχνάμε ότι μια απόδειξη γίνεται περισσότερο κατανοητή, όταν εμείς που την παρουσιάζουμε έχουμε πειστεί για την λειτουργικότητά της και αισθανόμαστε αρκετά ασφαλείς με αυτή.
Για τους επαγγελματίες μαθηματικούς οι αποδείξεις είναι αναγκαίες. Η ενόραση πολλές φορές βλάπτει σοβαρά την αλήθεια. Κανείς δεν μπορούσε να φαντασθεί μια συνεχή συνάρτηση, η οποία να μην είναι σε κανένα της σημείο παραγωγίσιμη. Όμως ο Weierstrass απέδειξε ότι τέτοια συνάρτηση υπάρχει και μάλιστα δεν είναι εξαίρεση, αλλά ο κανόνας. Όποιος λοιπόν ρωτά «τι χρειάζονται οι αποδείξεις», το πιθανότερο είναι ότι δυσκολεύεται με αυτές. Όποιος τις χειρίζεται εύκολα, δεν ρωτά γιατί τι κάνουμε, απλά τις κάνει και αισθάνεται μια ευχαρίστηση γι’ αυτό. Αλλά αυτό είπαμε ότι ισχύει για τους μαθηματικούς και όχι για τους μαθητές.
Επανέρχομαι στο αρχικό ερώτημα. Όταν υπάρχει τέτοιος προβληματισμός για τις σύγχρονες αποδείξεις, τι σημαίνει άραγε «επιστημονικά τεκμηριωμένη» απόδειξη; Βλέποντας ο υποψήφιος την οδηγία στο τέλος των θεμάτων, τι θα σκεφτεί; Το πιθανότερο είναι ότι θα την αγνοήσει. Θα προσπαθήσει να λύσει τις ασκήσεις χρησιμοποιώντας μόνο τη θεωρία του βιβλίου του, γιατί έτσι του έχουν πει, ή μάλλον μόνο τη θεωρία που είναι στη εξεταστέα ύλη. Αλλά αυτό είναι μια άτυπη σύμβαση μεταξύ των μαθηματικών – βαθμολογητών, γιατί μας διευκολύνει.
Προκύπτουν τα εξής ερωτήματα:
- Μπορεί ο μαθητής να χρησιμοποιήσει θεωρήματα του σχολικού βιβλίου που δεν είναι στην ύλη;
- Μπορεί να χρησιμοποιήσει σχετικά θεωρήματα, χωρίς απόδειξη, αφού και σε μερικά θεωρήματα του σχολικού βιβλίου δεν γράφεται η απόδειξη;
Θα τιμωρήσουμε – βαθμολογικά – τον μαθητή σε αυτή την περίπτωση, γνωρίζει κάτι παραπάνω;
- Μπορεί ένας μαθητής να χρησιμοποιήσει στα μαθηματικά γενικής παιδείας, θεωρήματα των μαθηματικών κατεύθυνσης;
Η προσωπική μου γνώμη είναι ότι πρέπει να είμαστε ανοιχτοί σε αυτά. Ασφαλώς πρέπει να επιτρέπουμε στον μαθητή να χρησιμοποιεί οποιοδήποτε θεώρημα, είτε εντός είτε εκτός του σχολικού βιβλίου. Το βιβλίο είναι ένας οδηγός για τους περισσότερους μαθητές, γι’ αυτό και τα θέματα πρέπει να επιλύονται οπωσδήποτε με τη θεωρία του βιβλίου αυτού. Αν όμως κάποιοι, ανήσυχοι στο πνεύμα μαθητές, γνωρίζουν κάτι παραπάνω αυτό είναι θετικό. Δεν πρέπει να το απορρίπτουμε επειδή δε βασίζεται στη σχολική θεωρία ή γιατί ίσως εμείς το αγνοούμε. Αρκεί τα θεωρήματα που χρησιμοποιούνται να είναι συμβατά με τους ορισμούς του σχολικού βιβλίου.
Επίσης πρέπει να εκτιμούμε ανάλογα ενορατικές αποδείξεις, οι οποίες βασίζονται σε ένα σχήμα. Αρκεί οι συλλογισμοί να είναι τεκμηριωμένοι, λογικοί και να μας πείθουν. Δε μιλάμε φυσικά για αποδοχή παθογενών αποδείξεων, που δεν κατανοούν το νόημα της πρότασης ή που συνχέουν την υπόθεση με το συμπέρασμα.
Εννοείται ότι οι ορισμοί δεν μπαίνουν σε διαπραγμάτευση, ούτε μπορούν μα αλλάξουν. Γιατί τότε θα παίζουμε ένα παιγνίδι με διαφορετικούς κανόνες ο καθένας και δεν θα μπορούμε να συνεννοηθούμε. Και δυστυχώς έχουμε μια μικρή, αλλά πικρή εμπειρία πάνω σε αυτό.
Βιβλιογραφία:
- P. J. DAVIS – R. HERSH: «Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΜΠΕΙΡΙΑ». Εκδόσεις ΤΡΟΧΑΛΙΑ.
- IAN STEWART : «Επιστολές σε μια νεαρή μαθηματικό». Εκδόσεις ΤΡΑΥΛΟΣ.
